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摘要
本文介紹如何使用降階隆伯格觀測(cè)器（ROLO）估算永磁同步電機(jī)（PMSM）的轉(zhuǎn)子磁鏈位置。首先介紹特征值與穩(wěn)定性的關(guān)系；在此基礎(chǔ)上，引入狀態(tài)反饋控制的理念；接著介紹如何使用該理念來設(shè)計(jì)隆伯格觀測(cè)器；然后，以PMSM為例，推導(dǎo)ROLO的設(shè)計(jì)過程，給出設(shè)計(jì)結(jié)果；最后，介紹Microchip的相關(guān)電機(jī)控制方案（評(píng)估套件、例程和文檔等）。
關(guān)鍵詞
降階隆伯格觀測(cè)器，永磁同步電機(jī)，反電動(dòng)勢(shì)估算，MPLAB® Harmony 3
概述
永磁同步電機(jī)（PMSM）的磁場定向控制（FOC）在近十幾年成為了主流的電機(jī)控制方法。其中，無位置傳感器FOC由于其低成本和高可靠性，獲得了越來越多的應(yīng)用和關(guān)注。由于沒有位置傳感器，所以必須估算轉(zhuǎn)子磁鏈位置。由于在旋轉(zhuǎn)過程中，轉(zhuǎn)子磁鏈生成反電動(dòng)勢(shì)（BEMF），并且BEMF超前轉(zhuǎn)子磁鏈π/2弧度，所以可以利用對(duì)BEMF進(jìn)行觀測(cè)，進(jìn)而估算轉(zhuǎn)子磁鏈。降階隆伯格觀測(cè)器（ROLO）是一種常用的BEMF觀測(cè)手段。
一方面，工程師可能不具備設(shè)計(jì)觀測(cè)器所需的背景知識(shí)；另一方面，產(chǎn)品開發(fā)項(xiàng)目必須盡快且高質(zhì)量地完成。盡管可以找到背景知識(shí)的相關(guān)教材，但由于其缺少針對(duì)性，所以工程師不得不花費(fèi)大量時(shí)間進(jìn)行學(xué)習(xí)。該矛盾經(jīng)常成為制約產(chǎn)品開發(fā)進(jìn)度和質(zhì)量的瓶頸。針對(duì)此困境，ROLO由于其原理簡單，成為了能短時(shí)間掌握的優(yōu)選方案。
本文針對(duì)PMSM控制所需，篩選出最少量的必需知識(shí)，按照邏輯順序闡述利用ROLO觀測(cè)BEMF的原理。此外，還介紹了Microchip的相關(guān)電機(jī)控制方案。讀者可以借此快速掌握原理，并且上手實(shí)踐和熟悉。
特征值與穩(wěn)定性
常微分方程（ODE）是時(shí)間確定性系統(tǒng)的一種抽象模型。PMSM可以看作是一個(gè)線性時(shí)間確定性系統(tǒng)，因此可以用線性常微分方程來建模。
考慮以下的一般線性O(shè)DE：
其中，
是隨時(shí)間t變化的狀態(tài)向量。
是0時(shí)刻的初始狀態(tài)。
是一個(gè)已知方陣。我們關(guān)心的是，
是否趨向于
？
是隨時(shí)間t變化的狀態(tài)向量。是0時(shí)刻的初始狀態(tài)。是一個(gè)已知方陣。我們關(guān)心的是，是否趨向于？假設(shè)A擁有n個(gè)相互獨(dú)立的特征向量
，對(duì)應(yīng)的特征值是
。那么可以把A分解為：
，對(duì)應(yīng)的特征值是。那么可以把A分解為：
式 2其中，
。
。由于
是空間
的一組基，所以任意
都可以表示為的線性組合：
是空間的一組基，所以任意都可以表示為的線性組合：
把式3代入式1，得到：
于是：
從式 5可以看出，
當(dāng)且僅當(dāng)A的所有特征值都位于復(fù)平面的左半面。
當(dāng)且僅當(dāng)A的所有特征值都位于復(fù)平面的左半面。狀態(tài)反饋控制
假設(shè)式 1是某個(gè)物理系統(tǒng)的ODE模型。顯然，矩陣A是由物理系統(tǒng)客觀決定的。因此，系統(tǒng)狀態(tài)
不一定→
。對(duì)該系統(tǒng)，我們可以施加一個(gè)輸入向量
：
不一定→。對(duì)該系統(tǒng)，我們可以施加一個(gè)輸入向量：
其中，B是由物理系統(tǒng)決定的已知矩陣。能否通過選擇合適的
使得
一定→
？答案是肯定的。一個(gè)簡單的選擇是狀態(tài)反饋比例控制：
使得一定→？答案是肯定的。一個(gè)簡單的選擇是狀態(tài)反饋比例控制：
其中，K是比例增益。于是，式 6變?yōu)椋?/span>
只要選擇合適的K，使A-BK的所有特征值都位于復(fù)平面的左半面，就可以確保
。
。隆伯格觀測(cè)器
考慮以下系統(tǒng)：
其中，C是由物理系統(tǒng)決定的已知矩陣，
是輸出向量，并且
可以直接測(cè)得，不能直接測(cè)得。能否利用已知信息A,B,C,,來估算？
是輸出向量，并且可以直接測(cè)得，不能直接測(cè)得。能否利用已知信息A,B,C,,來估算？我們首先嘗試做開環(huán)仿真估算：
其中，
是的估算值。把式 9與式 10相減，可以檢驗(yàn)估算效果：
是的估算值。把式 9與式 10相減，可以檢驗(yàn)估算效果：
其中，
=
是估算誤差。顯然，不一定→。但注意到式 11與式 1的形式完全相同，因此應(yīng)當(dāng)考慮使用類似于式 7那樣的狀態(tài)反饋控制來使→。
=是估算誤差。顯然，不一定→。但注意到式 11與式 1的形式完全相同，因此應(yīng)當(dāng)考慮使用類似于式 7那樣的狀態(tài)反饋控制來使→。由
可得：
。其中，
是的估算值。
和都是已知的，于是
，即系統(tǒng)式 11的狀態(tài)反饋信息，也是已知的。我們只需要對(duì)系統(tǒng)式 11施加狀態(tài)反饋控制，使系統(tǒng)模型變?yōu)椋?/span>
可得：。其中，是的估算值。和都是已知的，于是，即系統(tǒng)式 11的狀態(tài)反饋信息，也是已知的。我們只需要對(duì)系統(tǒng)式 11施加狀態(tài)反饋控制，使系統(tǒng)模型變?yōu)椋?/span>
并且選擇合適的矩陣L，使A-LC的所有特征值都位于復(fù)平面的左半面，就可以確保→。
→。為了實(shí)現(xiàn)式 12，必須設(shè)計(jì)如下的觀測(cè)器：
式 13由斯坦福大學(xué)的大衛(wèi).隆伯格教授提出，因此命名為隆伯格觀測(cè)器。
觀測(cè)PMSM的BEMF
在靜止兩相坐標(biāo)系（α-β坐標(biāo)系）中，表貼式PMSM的電壓方程為：
其中，
是定子線圈相電阻、相電感；u、i、e是在α軸或β軸上的電壓、電流、反電動(dòng)勢(shì)。反電動(dòng)勢(shì)是由轉(zhuǎn)子磁鏈旋轉(zhuǎn)而生成的，因而受制于以下ODE：
是定子線圈相電阻、相電感；u、i、e是在α軸或β軸上的電壓、電流、反電動(dòng)勢(shì)。反電動(dòng)勢(shì)是由轉(zhuǎn)子磁鏈旋轉(zhuǎn)而生成的，因而受制于以下ODE：
其中，ω是電氣轉(zhuǎn)速。
把式 14和式 15寫成矩陣形式，即表貼式PMSM在α-β坐標(biāo)系中的ODE模型：
其中，
是系統(tǒng)狀態(tài)向量；
是輸入向量；
。
是系統(tǒng)狀態(tài)向量；是輸入向量；。由于i ?可以通過傳感器采集到，因此可以把它看作已知量，而不是系統(tǒng)狀態(tài)。基于這種觀點(diǎn)，系統(tǒng)的階數(shù)由原來的4降低為2。相應(yīng)地，式 16的形式變?yōu)椋?/span>
應(yīng)當(dāng)注意到，式 17與式 9的形式一致。讀者能輕易地看出他們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。于是，只要根據(jù)式 13就可以直接設(shè)計(jì)出針對(duì)e ?的隆伯格觀測(cè)器。對(duì)此，本文不做展開，并鼓勵(lì)讀者親自進(jìn)行推導(dǎo)。需要指出的是，這樣的觀測(cè)器被稱為降階隆伯格觀測(cè)器。
Microchip的ROLO方案
Microchip的基于ROLO的PMSM無傳感器控制方案提供例程、評(píng)估套件、開發(fā)工具和幫助文檔。
例程位于MPLAB® Harmony 3的motor control模塊中，是一個(gè)運(yùn)行在Cortex®-M0+ MCU（SAMC21）之上的MPLAB X工程：pmsm_foc_rolo_sam_c21。
該演示方案可以運(yùn)行于MCLV2低壓電機(jī)控制評(píng)估套件或MCHV3高壓電機(jī)控制評(píng)估套件。兩款評(píng)估套件均可在Microchip官網(wǎng)搜索并訂購。
該例程利用圖形化配置工具M(jìn)PLAB Harmony配置器（MHC）生成。使用MPLAB X IDE打開該工程，并打開MHC，就可以看到CPU和所需片上周邊（PWM模塊和ADC等）的配置情況，如圖 1 所示。
相應(yīng)的幫助文檔也位于MPLAB Harmony 3的motor control模塊中。其中介紹了如何搭建硬件平臺(tái)、編譯和下載工程、算法原理框圖、軟件流程圖、軟件配置方法等，如圖 2、圖 3、 圖 4和圖 5 所示。
< 圖 1. 例程的MHC配置 >
< 圖 2. 電機(jī)控制算法框圖 >
< 圖 3. 軟件流程圖 >
< 圖 4. 軟件配置方法：電機(jī)參數(shù)宏定義列表 >
< 圖 5. 低壓電機(jī)控制硬件連接 >
總結(jié)
本文從PMSM的ODE模型開始，逐步介紹了基于ROLO的BEMF觀測(cè)器的設(shè)計(jì)理念和方法；并且介紹了Microchip的相關(guān)方案。讀者可以利用這些資源快速掌握原理并上手實(shí)踐、熟悉PMSM的無傳感器控制方法，以加快項(xiàng)目開發(fā)進(jìn)度和提升產(chǎn)品性能。
八、 參考文獻(xiàn)
1. AN2590, Sensorless FOC for PMSM Using Reduced Order Luenberger Observer, Microchip Technology. （https://ww1.microchip.com/downloads/en/AppNotes/00002590B.pdf）
2. MPLAB Harmony 3: motor control module.
3. Microchip工程師社區(qū)知識(shí)庫：《Harmony 3電機(jī)控制資源初探》（http://www.microchip.com.cn/newcommunity//Uploads/H3_Chinese_guides/guide-17.pdf）
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